iPhone/iPadでは、iCloudまたはiTunesにてバックアップ・復元で移行する形となります。
■手順
1.旧機種にてバックアップ
2.新機種にて復元
となります。
詳細は、以下のサイト等をご参照下さい。
Appleサポート:iOS：コンテンツのバックアップと復元方法
iCloudストレージとバックアップの概要
その他：古い本体からデータを移行する方法
iCloudに関しては、（5GBまで無料）
[設定]-[iCloud]において、その対象を指定することができます。
（「書類とデータ」はオン）
「写真」をオフにすることだけでもかなりの容量を節約できると思われます。
（因みにこちらの端末ではアプリをあまりインストールしていないかもしれませんが、せいぜい1.2GB程度です）